Нет, как разродится - везти никуда не надо (разве что совсем в плохом состоянии будет). Как откормит - тогда уже везти проверять зубы. А с малышами совсем маленькими это рискованно очень.
Наполнитель оставьте на полу - зачем же его убирать.
Полку тоже оставьте пока. Снять надо будет только при конкретных обстоятельствах, но обычно этого не требуется.